📌 大問7 (3) の類題（空間図形・立体の切断と分割）

【問題】

底面 $BCDE$ が長方形で、 $AE \perp BC$ 、 $AED = 90^\circ$ 、 $AE = 8\text{ cm}$ 、 $BC = 6\text{ cm}$ 、 $CD = 12\text{ cm}$ の四角錐 $A-BCDE$ がある。辺 $AB, AC, CD, BE$ の中点をそれぞれ $L, M, N, O$ とするとき、四角形 $LMNO$ を含む平面で切断したときの、点 $B$ を含む方の立体の体積を求めなさい（※画像5の公式解説の分割方法に沿った類題です）。

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【解答・解説】

切断面（四角形 $LMNO$ ）の面積を求める（※(2)のステップ）
- 中点連結定理等を利用すると、切断面の台形 $LMNO$ の上底 $= 3\text{ cm}$ 、下底 $= 6\text{ cm}$ 、高さ $= 4\text{ cm}$ となります（※計算の数値構造は元の問題と同一）。
  
  面積 $= \frac{1}{2} \times (3 + 6) \times 4 = 18\text{ cm}^2$ 。
点 $B$ を含む方の立体を 2 つの錐体に分割する
- 切断された下側の立体（点 $B$ を含む方）を、四角錐 $C-LMNO$ と 三角錐 $C-BOL$ の 2 つに分けて体積を求めます。
- ① 四角錐 $C-LMNO$ の体積
  - 底面を四角形 $LMNO$ （面積 $18\text{ cm}^2$ ）、高さを点 $C$ から切断面までの距離（ $= 6\text{ cm}$ ）とすると、
  - $\frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36\text{ cm}^3$ 。
- ② 三角錐 $C-BOL$ の体積
  - 底面を $\triangle BOL$ （面積は 1/2 $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\text{ cm}^2$ の半分等で計算）、高さを $6\text{ cm}$ とすると、
  - $\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 6 \times 4\right) \times 6 = \frac{1}{3} \times 12 \times 6 = 24\text{ cm}^3$
    
    $\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 6 \times 4\right) \times 6 = \frac{1}{3} \times 12 \times 6 = 24\text{ cm}^3$
合計の体積を計算する
- $36 + 24 = 60\text{ cm}^3$ 。

【答え】 $60\text{ cm}^3$

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