大問7 (3) 類題
【問題】
AB = AD = ６cm, AE = 8 cm の直方体 ABCD-EFGH がある。
辺 AE, CG の中点をそれぞれ M, N とし、4点 B, D, M, N を頂点とする四面体 BDMN をつくる。
このとき、四面体 BDMN の体積を求めなさい。
【解説・解答】
- 立体の構成と体積の計算
- 辺 AE, CG の中点 M, N の高さは、底面 EFGH から 4 cm の位置にある。
- 面 BDNM は平面で切断したひし形の切り口となっており、この四面体の底面 DMN は、ひし形DMNFを１/２に分けて考えることができます。
- Dを頂点に底面を△ＢＭＦと△ＢＮＦの2つの三角錐の集合体の1/2と考えることができます。
- 数値の代入と計算
- 底面 △BMＦ の面積 =８6 × 6 = ４８㎠
- 高さはBCと等しく６㎝
- 体積 V は、1/2×Ｂ-ＤMNF(計算はＤーＢＭＦ）
V =1/2× 1/3×４８ × ６ = 48㎤
答え: 48㎤
（別解）
直方体(ABCD-MONP)－4つの合同三角錐（A－ＢＤＭ、O－ＢＭＮ、Ｃ－ＢＤＮ、Ｐ－ＤＭＮ）
＝６×６×４－４×1/3×1/2×６×６×４＝６×６×４×（１－2/３）＝６×６×４×１/３＝ 48㎤