大問3 (3) 類題

【問題】大問3 (3) 類題

右の図のように、関数y = －１／２x + 6 のグラフがある。

グラフと x 軸、y 軸との交点をそれぞれ A, B とする。線分 AB 上を動く点を P とし、点 P から x 軸にひいた垂線と x 軸との交点を Q とする。点 B と点 Q を結ぶ。

PQ = 2OQ のとき、 三角形 BQP の面積は 三角形 APQ の面積の何倍か求めなさい。

【解説・解答】

  1. 交点 A, B の座標を求める

    • y = －１／２x + 6 に y = 0 を代入すると、0 = －１／２x + 6　⇒　 x = 12 より、A(12, 0)

    • x = 0 を代入すると y = 6 より、B(0, 6)

  2. 点 P, Q の座標と線分の長さを求める

    • 点 P のx 座標を p （0 < p < 12）とすると、点 Q の座標は (p, 0) となるので、OQ = p

    • 点 P はy = －１／２x + 6上にあるため、PQ = －１／２Ｐ + 6

    • 条件 PQ = 2OQ より、

      －１／２Ｐ + 6= 2p
      5／2p = 6　⇒　 p =12／5
      したがって、OQ = 12／5

    • 点 A の x 座標は12 なので、QA = 12 -12/5 = 48/5

  3. 面積の比を求める

    • △BQPと△ APQ は共通の線分 PQ を底辺と考えると、高さの比は x 軸上の線分 OQ と QA の長さの比に等しくなる。

      △BQP : △ APQ = OQ : QA =12/5 : 48/5 = 1 : 4

    • したがって、△BQPの面積は△ APQの面積の 1/4 倍 。