【大問7 (3) の類題】（空間図形・立体の切断と体積比）

【問題】
AD=BD=CD かつ ∠ADB=∠BDC=∠CDA=90°である三角錐 A-BCD がある。 辺 AB の中点を O とし、辺 AC 上に AP:PC=3:1 となる点 P をとる。 3点 D,O,P を通る平面で三角錐 A-BCD を切断したとき、頂点 B を含む方の立体の体積は、もとの三角錐 A-BCD の体積の何倍か求めなさい。

【大問7 (3) の類題】解答と解説

【解答】
5/8 倍（または 5/8）

【解説】

  1. 切断面の形と三角錐の分割を考える
    • 点 D は底面の頂点（あるいは直交する3辺の集まる点）です。
    • 3点 D, O, P を通る平面で切断すると、切断面は △DOP となります。
    • この切断面によって、もとの三角錐 A-BCD は「頂点 A を含む側の三角錐 A-DOP」と「頂点 B を含む側の立体」の2つに分けられます。
  2. 三角錐 A-DOP の体積割合を求める 三角錐 A-BCD と三角錐 A-DOP は、頂点 A を共有しています。
    • 辺 AB 上の点の位置: O は中点なので AO:AB=1:2
    • 辺 AC 上の点の位置: AP:PC=3:1 より AP:AC=3:4
    • 辺 AD 上の点の位置: D はそのまま共通なので AD:AD=1:1
  3. 三角錐の体積比は、共有する頂点から伸びる3辺の長さの比の積に等しいため：
    V(A-DOP)／V(A-BCD)=AO/AB×AP/AC×AD/AD=1/2×3/4×1/1=3/8
  4. 頂点 B を含む側の立体の割合を求める 全体の体積を 1 とすると、頂点 B を含む立体の体積は：
    1−3/8=5/8
    したがって、もとの三角錐の体積の 5/8 倍 となります。