【大問6 (3) の類題】（平面図形・三角形の面積比）

【問題】
∠BAC=90∘ の直角二等辺三角形 ABC がある。 頂点 C を通り辺 AB に平行な直線上に点 D をとる。（点 D は直線 BC に関して頂点 A と同じ側にある） 辺 AC 上に点 E をとり、頂点 B と点 E、頂点 D と点 E をそれぞれ結ぶ。 AB:CD=3:1 であり、AE=CD であるとき、△ADE と △BCE の面積比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

【大問6 (3) の類題】解答と解説

【解答】
1:6

【解説】

  1. 長さの比を設定する
    AB:CD=3:1 より、AB=3k とおくと CD=k です。 △ABC は直角二等辺三角形（∠BAC=90∘）なので、AC=AB=3k です。 また、AE=CD=k より、EC=AC−AE=3k−k=2k となります。
  2. 各三角形の面積をもとの直角二等辺三角形 △ABC（面積を S とする）を基準に表す
    • △BCE の面積:
      △ABC と △BCE は底辺を AC,EC とみると高さが共通です。
      EC:AC=2k:3k=2:3
      よって、△BCE=2/3S
    • △ADE の面積:
      AB∥CD より、AC を底辺とみなしたときの高さの比較、または座標・比で計算できます。 △CAD の面積を考えると、底辺を CD(=k)、高さを AB(=3k) と等しい距離にとれるため、
      △CAD=1/2×CD×AB=1/2×k×3k=CD/AB×△ABC=1/3×S=1/3S
      △ADE は △CAD の底辺を AE と見たときの分割です。
      AE:AC=1:3⟹△ADE=1/3×△CAD=1/3×1/3S=1/9S
  3. 面積比を求める
    △ADE:△BCE=1/9S:2/3S=1/9:6/9=1:6

(※上記計算の通り、AB:CD=3:1 の場合は 1:6 となります。)