【大問3 (3) の類題】（一次関数と図形の面積）

【問題】 右の図において、直線 ① は関数 y=−x+8 のグラフ、直線 ② は関数 y=1/2x のグラフである。 点 A は ① と ② の交点である。 ① のグラフ上の点 A より x 座標が小さい部分を動く点を P とする。 点 P を通り y 軸に平行な直線と ② のグラフとの交点を Q とし、長方形 PQRS をつくる。 長方形 PQRS は PQ=2PS（たての長さが横の長さの2倍）を満たし、点 S の x 座標は点 P の x 座標より小さいものとする。 点 S が y 軸上にあるとき、長方形 PQRS の面積を求めなさい。

【大問3 (3) の類題】解答と解説

【解答】
512/49

【解説】

  1. 点 P, Q, S の座標を仮定する 点 P の x 座標を t (t>0) とおきます。
    • 点 P は直線 y=−x+8 上にあるので、P(t,−t+8)
    • 点 Q は点 P と x 座標が同じで直線 y=1/2x 上にあるので、Q(t,1/2t)
    • 点 S は y 軸上にあるため、x 座標は 0 です。したがって、横の長さ PS（または QR）は t−0=t と表せます。
  2. PQ=2PS 条件から t の値を求める
    • たての長さ PQ=(Pのy座標)−(Qのy座標)=(−t+8)−1/2t=8−3/2t
    • 横の長さ PS=t
    • 問題の条件 PQ=2PS より：
      8−3/2t=2t
      8=7/2t⟹t=16/7
  3. 長方形の面積を計算する
    • 横の長さ PS=t=16/7
    • たての長さ PQ=2t=32/7
    • 面積 =PS×PQ=16/7×32/7=512/49

(※計算を整数でスッキリさせる別パターンの数値例：もし問題の設定等で PQ=PS などにした場合はきれいな整数になりますが、今回の数値での正確な面積は 512/49 となります。)