「$4n+1$」「$4n+3$」（4で割ったあまり）による分類は、「平方数（2乗した数）の余りの特徴」と「積の余りの性質」を利用する入試問題で威力を発揮します。

【問題1】（平方数の和の不可能性）

x2+y2=2027 を満たす整数 $x,y$ は存在しないことを示せ。

【解き方】

• Step 1: 平方数を 4 で割ったあまりを調べる 任意の整数 $k$ を 4 で割ったあまり（$4n,4n+1,4n+2,4n+3$）で分類し、それぞれ 2 乗してみます。

  • $k=4n$ のとき：k2=16n2=4(4n2)⟶ あまり 0

  • $k=4n+1$ のとき：k2=16n2+8n+1=4(4n2+2n)+1⟶ あまり 1

  • $k=4n+2$ のとき：k2=16n2+16n+4=4(4n2+4n+1)⟶ あまり 0

  • $k=4n+3$ のとき：k2=16n2+24n+9=4(4n2+6n+2)+1⟶ あまり 1

  ここから、「すべての平方数を 4 で割ったあまりは 0 または 1 のみ」であることがわかります。

• Step 2: 2つの平方数の和のあまりを判定する x2 と y2 のあまりの組み合わせは $(0,0),(0,1),(1,1)$ のいずれかなので、x2+y2 を 4 で割ったあまりは 0, 1, 2 のいずれかにしかなり得ません。

• Step 3: 2027 と比較する $2027=4\times 506+3$ であり、4 で割ると 3 あまる数（$4n+3$ 型）です。 よって、x2+y2=2027 を満たす整数 $x,y$ は存在しません。

【問題2】（難関大学入試：$4n+3$ 型素数の無限性の証明）

$4n+3$ の形で表される素数は無限に存在することを示せ。

【解き方】

• Step 1: 背理法の設定 $4n+3$ の形の素数が有限個（$k$ 個）しか存在しないと仮定し、それらを小さい順に p1​,p2​,…,pk​（ただし p1​=3）とします。

• Step 2: 新しい数 $N$ を作る 3 以外の $4n+3$ 型素数をすべて掛け合わせて 4 倍し、3 を足した数 $N$ を作ります。

  N=4p2​p3​⋯pk​+3

• Step 3: $N$ の素因数の形を分析する $N$ 自体は 4 で割ると 3 あまる数です。 ここで、「$4n+1$ の形の数同士を掛け合わせても、絶対に $4n+1$ の形にしかならない」という性質があります。

  $$(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1$$

  もし $N$ の素因数がすべて $4n+1$ 型の素数（および 2）だけだとすると、$N$ 自身も $4n+1$ 型（または偶数）になってしまい、$N$ が $4n+3$ 型であることに矛盾します。 したがって、$N$ は少なくとも 1 つ、$4n+3$ 型の素因数 $p$ を持ちます。

• Step 4: 矛盾を導く この素因数 $p$ は仮定した素数 p1​,p2​,…,pk​ のいずれかです。

  • $p=3$ のとき：$N$ は 3 で割り切れません（4p2​⋯pk​ 部分が 3 の倍数でないため）。

  • p=p2​,…,pk​ のとき：$N$ を $p$ で割ると 3 余るため、割り切れません。

  どちらの場合も $N$ が $p$ で割り切れることに矛盾します。 よって、$4n+3$ の形の素数は無限に存在します。

『4n+1』『4n+3』解法の鉄則

1. 平方数の余り（x2≡0,1(mod4)） 「2つの平方数の和で表せない条件」や「x2−y2 の倍数判定」で頻出。

2. 積の余り（(4n+1)×(4n+1)=4n′+1） 「$4n+3$ 型の合成数には、必ず 1 つ以上 $4n+3$ 型の素因数が混ざる」という絞り込みに利用。