「6n±1」を使って解く実際の入試問題の例と解き方を見ますか？

「6n±1」の形を使って解く実際の入試問題の例と、その解き方を教えてください。

6n±1 の形（6で割ったあまり）を活用する入試問題では、「p≥5 のとき p=6n±1 とおくことで、3の倍数になることを示して候補を絞り込む」アプローチが定石です。

【問題1】（難関高校・大学入試の基本型）

p と p²+2 がともに素数となるような素数 p をすべて求めよ。

【解き方】

• Step 1: 小さい素数で調べる
  • p=2 のとき： p²+2=6（合成数のため不適）
  • p=3 のとき： p²+2=11（素数のため適合）
• Step 2: p≥5 のときを 6n±1 で一括処理する
  p は 5 以上の素数なので、自然数 n を用いて p=6n±1 と表せます。 これを p2+2 に代入します。
   p²+2=(6n±1)²+2=36n²±12n+1+2=3(12n²±4n+1)
  n≥1 より 12n²±4n+1 は 2 以上の整数となるため、 p²+2 は「3 ×（2以上の整数）」となり、必ず3の倍数（合成数）になります。
• 結論
  p≥5 で条件を満たす素数は存在しないため、解は p=3 のみ。

【問題2】（応用問題）

p と 8 p²+1 がともに素数であるとき、8 p²−1 も素数であることを示せ。

【解き方】

• Step 1: 小さい素数の検証
  • p=2 のとき：8 p²+1=33（合成数のため不適）
  • p=3 のとき：8 p²+1=73（素数）。このとき 8 p²−1=71 も素数となり題意を満たす。
• Step 2: p≥5 のときを否定する
  p=6n±1（n は自然数）とおき、8 p²+1 に代入します。
  8 p²+1=8(6n±1)²+1=8(36n²±12n+1)+1=288n²±96n+9=3(96n²±32n+3)
  n≥1 より 3(96n²±32n+3) は 3 より大きい 3 の倍数となり、素数になり得ません。
• 結論 条件を満たす素数は p=3 のみに限定され、このとき 8 p²−1=71（素数）となるため、題意は示されました。

解法のキモ（なぜ 6n±1 が強力なのか）

p=6n±1 を 2 乗すると、

 p²=(6n±1)²＝36n²±12n+1=3(12n2±4n)+1

となり、「5 以上の素数を 2 乗して 3 で割ると、あまりは必ず 1 になる（ p²≡1(mod3)）」という強力な性質を計算一発で導き出せるためです。