受験の整数問題で $4n+1,4n+3$（4で割ったあまり）以外に押さえておくべき素数の表現形式と性質は、主に「割り切れないあまり（剰余）による分類」と「難関校で差がつく重要公式・性質」です。

1. $6n\pm 1$（$6n+1,6n+5$）の形【最重要】

• 内容: 2と3以外の素数は、すべて $6n+1$ または $6n-1$（$6n+5$）の形になります。

• 理由: 6で割ったあまりは $0,1,2,3,4,5$ のいずれかですが、

  • $6n,6n+2,6n+4$ は 2の倍数（偶数）

  • $6n+3$ は 3の倍数 のため、素数になり得る候補は $6n+1$ と $6n+5$（$=6(n+1)-1$）しか残りません。

• 受験での使い方: 「$p$ が 5 以上の素数のとき…」という証明・絞り込み問題で、$p=6n\pm 1$ と置く解法が超頻出です。

2. $3n\pm 1$（$3n+1,3n+2$）の形

• 内容: 3以外の素数は、すべて $3n+1$ または $3n-1$ の形になります。

• 使いどころ: $6n\pm 1$ よりも条件がゆるいものの、3の倍数判定と組み合わせて「素数であることを証明する」問題や余りの周期性を考える問題で使われます。

3. p2−1 は 24 の倍数（$p\ge 5$ の素数）

• 内容: 5以上の素数 $p$ について、p2−1 は必ず 24 の倍数になります。

• 理由:

  • p2−1=(p−1)(p+1) と因数分解できます。

  • $p-1$ と $p+1$ は連続する偶数なので、一方は4の倍数、他方は2の倍数となり、積は 8の倍数 です。

  • $p$ は3の倍数ではないため、$p-1$ か $p+1$ のどちらかが 3の倍数 です。

  • したがって、積は $8\times 3=24$ の倍数になります。

• 受験での使いどころ: 難関高校・大学入試で「p2−1 が24で割り切れることを示せ」という形でそのまま出題されます。

4. 素数の代数的な性質（ユークリッドの補題）

• 内容: 「素数 $p$ が積 $ab$ を割り切るなら、$p$ は $a$ または $b$ の少なくとも一方を割り切る」

• 使いどころ: 合成数では成り立たない（例：6が $2\times 3$ を割り切るからといって、6は2も3も割り切らない）、素数特有の性質です。不定方程式で $(a-x)(b-y)=p$ の形に因数分解し、積の候補を絞り込む際の論理的根拠として必須になります。