受験で苦戦する組合せ、確率の種類と各問題での正しい適用 確率や組み合わせの問題は、多くの受験生が「何をどのタイミングで使うべきか」で迷う分野ですよね。公式は覚えていても、問題文のわずかなニュアンスの違いで nPr なのか nCr なのか、あるいは重複を許すのかが変わってしまいます。 混乱を防ぐために、**「選ぶ対象」と「並べる枠」**の関係性に注目して整理しましょう。 1. 組み合わせ（Combination）と順列（Permutation） 一番最初のハードルは「順番を気にするかどうか」です。 順列 nPr (Permutation): 「選んでから並べる」。1列に並べる、役職（会長・副会長）を決めるなど、順番が変わると別物になる場合。 組合せ nCr (Combination): 「選ぶだけ」。掃除当番を選ぶ、トランプから3枚引くなど、セットとしての内容が同じなら順番はどうでもいい場合。 迷った時の判別法：選んだものを入れ替えてみて、意味が変わるなら順列、変わらないなら組合せです。 2. 受験生が最も苦戦する4つのパターン 試験で差がつくのは、以下の4つの使い分けです。 種類 特徴・キーワード 適用するケース 重複順列 「何度使ってもよい」 nのｒ乗 で計算。3つの箱に5個のボールを入れる（空箱OK）など。 重複組合せ 「仕切り」の考え方 n+r−₁Cr 。n種類の果物からｒ個を配る。ｒ個を(n-1)個で仕切る。方程式の解の個数など。 同じものを含む順列 「並べ替え」に制限あり n!÷（p!q!r!） 。「a, a, a, b, b」を並べる、最短経路の問題など。 円順列・じゅず順列 「回転」して同じなら1通り (n−1)! や (n−1)!÷２ 。輪になって座る、ブレスレットを作るなど。 3. 確率における「同様に確からしい」の罠 確率の問題（Na）で最も多いミスは、**「区別のつかないものを区別せずに数えてしまう」**ことです。 鉄則：確率は、たとえ見た目が同じ玉でもすべて「別物」として扱う。 赤玉3個、白玉2個から1個取る時、赤が出る確率は３／５ ですよね。これは赤玉1つひとつを R1,R2,R3 と区別して考えているからです。 「反復試行の確率」の適用条件：「1回の試行で起こる確率 p が、何度繰り返しても変わらない」場合に使います。 P=nCr⋅pr乗⋅(1−p)n−r乗 解き方のステップ（例：サイコロを5回投げて、1の目が3回出る確率） 1回の試行で「1の目」が出る確率を求める サイコロの目は全部で6通りなので、1の目が出る確率は１／６ です。 逆に出ない確率（2〜6の目が出る確率）は １－１／６＝５／６ となります。 どの回で「1の目」が出るか（組み合わせ）を考える 5回の列のうち、どの3回で1が出るかを選びます。これは順序を考慮しないので組合せです。₅C₃ 通りあります。 式を立てて計算する 「1の目が3回出る確率」と「1以外の目が2回出る確率」を掛け合わせ、さらにそのパターンの数（₅C₃）を掛けます。 Ｐ＝₅C₃×（１／６）³×（５／６）²=（５×４）/（2×１）×（１／２１６）×（２５/３６）＝２５０／７７７６＝１２５／３８８８ （小数に直すと約 0.032、つまり約 3.2% の確率になります） 4. 正しい適用のためのチェックフロー 問題文を読んだら、以下のステップで解法を選んでみてください。 「区別」はあるか？ 取り出す側（人、箱）と取り出される側（玉、カード）の両方に区別があるか確認。 「戻す」か「戻さない」か？ 戻すなら「重複」、戻さないなら「通常の順列・組合せ」。 「順番」は関係あるか？ 関係あるなら P、ないなら C。 「余事象」の方が早いか？ 「少なくとも〜」「〜以上の」という言葉があれば、全体から引くことを検討。