📝 大問4 の類題（方程式の文章題）

元の問題4：

A中学校で、実習を行うために3年生全員を11のグループに分けることにしていたが、当日になって4人の欠席者がいたので、グループを分け直すことにした。1つのグループの人数を１人ずつ減らすと、グループの数はちょうど1つ増える。また、1つのグループの人数を2人ずつ減らすと、グループの数はちょうど3つ増える。このとき、3年生全員の人数を求めなさい。

この問題の構造（「人数を減らすとグループ数が増える」という条件が2つ与えられ、全員の人数を求める連立方程式）に基づいた類題を作成しました。

【類題】

ある中学校で、校外学習のために2年生全員をいくつかのグループに分けることになっていたが、当日になって6人の欠席者が出たため、グループを組み直すことになった。

はじめに予定していたグループの人数から 1人ずつ減らす と、グループの数はちょうど 1つ増える 。

また、はじめに予定していたグループの人数から 2人ずつ減らす と、グループの数はちょうど 3つ増える 。

このとき、2年生全員の人数を求めなさい。（途中の計算も書くこと）

【類題の解答・解説】

  1. 文字の置き方

    • はじめに予定していた1つのグループの人数をx 人、グループの数をy とする。

    • このとき、2年生全員の人数は xy 人と表せる。

  2. 連立方程式の作成

    • 条件①：「1人ずつ減らすと、グループの数はちょうど1つ増える」

      • (x – 1)(y + 1) = xy-6 （全員の人数は変わらないので、欠席者の6人を考慮するか、あるいはグループごとの人数×個数で表す）

      • ※注意：欠席者が6人いるので、実際の総人数は最初より6人減っています！元の問題の文言に合わせてしっかり立式します。

      • 元の問題（画像4）の式を正確になぞると：

        • グループの人数を減らしたときの総人数は、xy – 6（欠席者6人を引く）となります。

        • 条件1：(x – 1)(y + 1) = xy – 6⇒ xy + x – y – 1 = xy – 6⇒  x – y = -5

        • 条件2：(x – 2)(y + 3) = xy – 6⇒ xy + 3x – 2y – 6 = xy – 6⇒ 3x – 2y = 0

  3. 方程式を解く

    •  x – y = -5  …①  3x – 2y = 0 …s ② 

    • ①より y = x + 5　を②に代入する。

      3x – 2(x + 5) = 0

      3x – 2x – 10 = 0

      x = 10

    • x = 10 を①に代入すると、

      10 – y = -5 ⇒ y = 15

  4. 全員の人数を求める

    • 予定していた人数とグループ数から、実際の人数を出すか、あるいは「はじめの人数は xy だが欠席が6人いる」ので、

    • 実際の人数= 10×15 – 6 = 150 – 6 = 144 人。

    • （または、グループ数が 15 + 1 = 16 で、1グループの人数が 10 – 1 = 9 人になったとすると、16× 9 = 144 人でも一致します）

【答え】

144人