ACの長さを求める正弦定理 | 金沢市港・浅野川・大徳・泉・高岡の個別指導

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2026.07.18

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ACの長さを求める正弦定理

ACの長さを求める正弦定理

与えられた画像の情報から、 $AC$ の長さを求める最もエレガントな解法（正弦定理を用いた方法）を解説します。

実は、∠ $\angle A = 90^\circ$ 、∠ $\angle C = 90^\circ$ であることから、この四角形 $ABCD$ は対角線 $BD$ を直径とする円に内接していることがわかります。

💡 解法のポイント（図解イメージ）

      　   A　
         /    　\
      /  　 　    　\
    /    　　　　　   　\
   B---------------------D  ← 直径 BD = 6 の円が 4点 A,B,C,の円周にある
    \ 　　　　　　 　/  　 
　　　\ 　　　 /  　
　　　　Ｃ　 

対角の和が $180^\circ$ (∠ $\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ ) なので、四角形 $ABCD$ は一つの円に内接します。
この円の直径は $BD = 6$ となります。

✍️ 計算のステップ

ステップ 1: ∠ $\angle ADC$ の大きさを求める

$\triangle BAD$ は ∠ $\angle A = 90^\circ$ で $AB = AD$ の直角二等辺三角形なので、∠ $\angle ADB = 45^\circ$ です。
問題の図より、∠ $\angle BDC = 30^\circ$ です。

したがって、全体の角 ∠ $\angle ADC$ は以下のようになります。

\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ

ステップ 2: △ $\triangle ADC$ に正弦定理を適用する

$\triangle ADC$ の外接円の直径は $BD = 6$ です。正弦定理より、以下の関係が成り立ちます。

\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = (\text{外接円の直径})

AC = 6 \cdot \sin(75^\circ)

AC = 6 \cdot \sin(75^\circ)

$\sin(75^\circ)$ $\sin(75^\circ)$ は、加法定理を使って以下のように求められます。

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)

\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

これを $AC$ の式に代入します。

AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}

📌 答え

AC = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{2}