Ｘを求めてみてください！(対象：小学生から大人です）
図から読み取れる条件は以下の通りです。
- 左上の領域： 1辺の長さがx の正方形。面積は x²。
- 右上の領域： 縦の長さが x の長方形。面積は 35㎠。
- 下の領域 ： 横に細長い長方形。面積は 60㎠。
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| 面積: x² | 面積 35 ㎠ | 縦: x
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+———————-+—————-+
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| 面積: 60 cm² | 縦: y
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+———————-+—————-+
横: x 横: 35/x
<———— 全体の横幅 ————–>
2. x の求め方（2つのアプローチ）
全体の横幅は、上の2つの四角形の横の長さを足したものになります。
- 左上の正方形の横： x
- 右上の長方形の横： 35/x （面積35 ÷ 縦x）
したがって、全体の横幅は x +35/x と表せます。
ここで、一番下の長方形（面積 60㎠）の縦の長さを y と置いてみましょう。
アプローチA：方程式で解く（中学生以上向け）
下の長方形の面積の関係から式を組み立てます。
- 縦の長さ y を x で表す
左上の正方形と右上の長方形は縦に並んでいないため直接つながりませんが、下の長方形の横幅は全体の横幅と同じです。
また、左上の正方形の縦の長さは x です。
ここで、左側の「縦のライン」に注目します。
- 左上の正方形（横 x, 面積 x²）
- 下の長方形の左側の部分（横 x, 縦 y）
下の長方形を、上の境界線に合わせて左右に分割して考えてみましょう。
- 左下部分（横 x の部分）の面積は、横 × 縦 なので x × y = xy となります。
- 右下部分（横 35/x の部分）の面積は、35/x×y = 35y/x となります。
これらを足したものが 60 です。
xy +35y/x = 60
両辺に x をかけると、
x²y + 35y = 60x
y(x² + 35) = 60x
y =60x/（x² + 35）
- 別の視点から y を挟み撃ちする
実はもっとシンプルな関係があります。
上の2つの図形（合計面積 x² + 35、縦 x）と、下の図形（面積 60、縦 y）は、どちらも横幅が同じ（x + 35/x）です。
横幅が同じ長方形同士の「面積の比」は、「縦の長さの比」に等しくなります。
上の合計面積/下の面積 = 上の縦/下の縦
（X² + 35）/60 =x/y
この比例式を解くと、
y(x² + 35) = 60x
y =60x/（x² + 35）
となり、先ほどと同じ式が導けます。
ここから x が整数であると仮定して、もっと直感的に解く算数的なアプローチへ進むのがスムーズです。
アプローチB：面積の比率で解く（小学生の算数・パズル的解法）
「横幅が同じなら、縦の長さの比＝面積の比」という性質を綺麗に使います。
これが一番スッキリ納得できる解法です。
- 右上と右下の関係に注目する
右上の長方形（面積 35）と、左上の正方形（横 x）の右隣にある空間を意識します。
もし、上の図形を「横幅x の左側」と「横幅 35/x の右側」で縦に真っ二つに切るとどうなるでしょう。
下の長方形（面積 60）も同じ比率（x 対 35/x）で左右に分割されます。
つまり、下の長方形の左側と右側の面積の比は、上の正方形と右上の長方形の面積の比と同じになります。
- 上の面積の比（左：右） ＝ x² : 35
- 下の面積の比（左：右） ＝ x² : 35
- 下の長方形の「左側」の面積を求める
下の長方形の左側は、上の正方形（縦 x, 横 x）の真下にあります。
ということは、この部分の横幅も x です。縦の長さを y とすると、面積は xy です。
ここで、上の正方形（縦 x, 横 x, 面積 x²）と、下の左側（縦 y, 横 x, 面積 xy）を比べると、横幅がどちらも x で共通しています。
同じように、右上の長方形（縦 x, 横35/x, 面積 35）と、下の右側（縦 y 横 35/x, 面積35y/x）も、横幅が共通しています。
縦の長さの比がどちらの列も x : y になるため、
「左上の面積 : 左下の面積」＝「右上の面積 : 右下の面積」
という綺麗な比例関係（たすき掛けの法則）が成り立ちます。
X² :（左下の面積) = 35 : (右下の面積)
ここで、左下の面積は x× y = xy であり、右下の面積は 60 – xy です。
X² : xy = 35 : (60 – xy)
比の前項を x で割って単純化すると、
x : y = 35 : (60 – xy)
- 整数を当てはめてみる（パズル的解法）
問題の性質上、x や面積の構成から、辺の長さが綺麗な整数になる可能性が非常に高いです。
右上の面積が 35㎠、下の面積が 60㎠ というのが大きなヒントです。
- 35 の因数（縦 x になり得る候補）：1, 5, 7, 35
もし x = 5 だと仮定してみましょう。
- 左上の正方形の面積：5 × ５ = 25㎠$
- 右上の長方形の横幅：35÷ 5 = 7 cm
- 全体の横幅：5 + 7 = 12 cm
このとき、下の長方形（面積 6㎠）の横幅も全体の横幅と同じ 12 cm になります。
- 下の長方形の縦 y＝6０÷ 12 = 5 cm
縦y = 5 cm となり、左上の正方形の縦（$5\text{ cm}$）とも綺麗に整合性が取れます。
3. 結論
- x = 5
x=5 のとき、すべての辻褄が美しく合います。
（確認：上の総面積は 25 + 35 = 60、下の総面積も 60。縦の長さがどちらも 5 cm$ で同じになるため、全体の形は縦 10 cm× 横 12 cm の大きな長方形になります）。